Un programa de computadora genera una sucesión de 2004 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1, y a partir de allí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a x + 1/[x]. Los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; ... ; pues ... Determinar cuál es el último número que genera el programa. ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera del número. 2 Se suman las 102 potencias de 7 desde 7^0 = 1 hasta 7^101: 7^0 + 7^1 + ... + 7^100 + 7^101. Calcular el resto de dividir al resultado de esta suma por 400. 3 Dado un triángulo ABC rectángulo en C, con AC/BC = 3, sea O el punto medio de la hipotenusa AB. Se traza por O la perpendicular a AB que corta al cateto AC en P; se traza por P la paralela a AB que corta al cateto BC en Q y se traza por Q la perpendicular a AB que corta a AB en R. Calcular PQ/RQ 1. Si a, b son números reales que satisfacen ((10b+a)/(10a+b))+(a/2b)=2 Calcular b/a. Dar todas las posibilidades. 2. Una progresión aritmética infinita de números enteros (positivos o negativos) es actual si entre sus primeros diez términos hay uno igual a 1 y otro igual a 2005. Calcular cuántas son las progresiones aritméticas actuales. ACLARACIÓN: Una progresión aritmética infinita es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión. Por ejemplo, 2, 102, 202, 302, 402, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia 100 7, 4, 1, -2, -5, -8, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia –3. 3. Sean ABCD un cuadrado de lados AB=BC=CD=DA=5 y M el punto de AB tal que 2AM=BM. Sea F el punto de intersección de las rectas DM y BC, y sea E el punto medio de DF. Calcular AE. 1. Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las siguientes condiciones: · M y N son números de cuatro dígitos. · M y N son cuadrados perfectos. · Si se resta ordenadamente a cada dígito de M el correspondiente dígito de N (el primero menos el primero, el segundo menos el segundo, etc.) entre los cuatro resultados obtenidos, exactamente dos son ceros y los otros dos son 1 ó –1 (pueden ser los dos 1, los dos –1 o un 1 y un –1). 2. Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene un número de 100 dígitos. 3. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado PQRS está inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia . Hallar el área del cuadrado PQRS.